浅谈小学数学植树问题“加1”法的误区

　　以人教版为例吧，《义务教学课程标准实验教科书〈数学〉四年级下册》（人民教育出版社）关于植树问题的解法，归纳为：直线植树的棵数比间隔数要多1（教材117页题1）；圆形植树棵数等于间隔数，也就是不必加1（教材122页题4）。
　　众所周知，一些点拉紧了可成为直线，封闭了可围成圆形等，同样长度的植树段，由于图形不同，植树棵数的确不相同吗？为什么一定要“加1”或“减1”呢？“加1”或“减1”的理由确实充分吗？实践让我产生了对“加1”法和“减1”法的疑虑。
　　一、“加1”法在实际应用中显不足
　　请看下列例题分析：
　　例1：A楼与B楼之间有条60米的通道，计划在该通道一侧每4米种植一棵梧桐树，可种多少棵梧桐树？
　　解：60÷4+1=16（棵）
　　答：可种16棵梧桐树。
　　分析：每4米一个间隔，共15个间隔，实际只能种15棵树。如果按照“加1”法计算要种上16棵，则两端点必须各种上1棵，那么，植树人务必拆去A楼与B楼的墙体了，这显然是脱离实际的。
　　为了解决类似问题，教材（118页题2）采用间隔数“减1”的方法弥补，即：            解：60÷4-1=14（棵）
　　然而，用“减1”法解本题，虽然树栽下了，但少栽了1棵树。从某种意义上讲  ，
　　是对绿化面积的浪费，而且，这样忽而“加1”（两端都栽），忽而“减1”（两端都不栽），难免会使小学生产生难以捉摸之嫌。甚至连命题者自己也会觉得麻烦，须在题后注上“两端都栽”，“两端都不栽”等说明。另一方面，这些少不了的题后注释也不利于对小学生的逻辑思维能力和分析判断能力的培养。
　　例2：有条长3000米的村道，计划在靠小溪一侧每隔10米种植1棵银杏树，该植树项目平均承包给三户农户完成，平均每户农户种多少棵?
　　解法一：（按两端都栽计算）3000÷3=1000（米）
　　1000÷10+1=101（棵）
　　解法二：（按两端都栽计算）3000÷10+1=301（棵）
　　301÷3=100 （棵）
　　解法三：（按两端都不栽计算）3000÷10－1=299（棵）
　　299÷3=99 （棵）
　　解法四：（按两端都不栽计算）3000÷10=300（棵）
　　300÷3—1=99（棵）：
　　分析：村道全长3000米，按每10米一个间隔，共300个间隔，也就是说总共能种300棵，则平均每户种植100棵，而现在计算平均每户要种101棵等，谁能？很显然，这是不符实际的。且按教材思路，以上四种解法在解题中未见什么差错，却出现四种不同的结果，再说，植树棵数还出现小数现象，这又如何解释？
　　二、“加1”法先植为强，横空添“1”
　　按“加1”法植树，一般解释为先植该植树段起点（两端点中的任意一端）的那棵树，然后分别按间距植树，那么，当植到最后一棵树时，刚好植在该植树段的终点（另一端点），因此，植树棵数比间隔数多了一棵。为了让学生记住这“加1”法的“1”，一直来，我在讲解时往往把起（端）点所植的第一棵树特别强调，在黑板上作图时，还用彩色粉笔把它画得特别高大，甚至说加上去的那棵树就是这一棵，因为后面的棵数总和刚好等于间隔数。虽然学生记住了这个“1”，能应付习作或考试了，而事实上，这一棵树是栽得不恰当的，因为你多植一棵树，人家就得少植一棵树。例如：张三计划在50米的路段上每隔5米植下一棵香樟树，他已分好间隔，购买树苗（如图一）。当他将要栽种时，左右界址户王五与李六已在界址上栽下了树苗（如图二）。若张三忍气吞声的话，他只能少种一棵树；若张三据理力争的话，那么，王五与李六总该有个说法。树木（包括其他植物）需要一定的生长空间，王五与李六在界址上(端点)所植的树，事实上各有半棵的生长空间强占在不属于自己的地界内。一般地说，在界址上植树须与相界户商量才行。几年前，因村里有人把树植在分户界址上引发争议，村里规定，界址上的树，无论谁种，树权一律归相界户共有。这样，植树时协商多了，纠纷少了，植树的成活率也高了，先植为强的矛盾也解决了。
　　三、“加1”法把树植在端点上不科
　　综上所述，“加1”法把树植在端点上了，这是不科学的。树木是有生命的物体，需要有一定的生长空间，植树不仅仅是找一个点，或者说是一个僵化不变的点，如上述例1要把树栽在墙体上，这违背了植物的生长规律，是不可能的。普通农民都知道，水稻要种在大田里，不能种在田埂上；蔬菜要种在菜畦上，而不是种在畦沟里。即使仅仅种植一棵菜苗，也应把它种在穴中，而不是种在穴边上。那些“田埂上、畦沟里、穴边上”与线段的端点上不是很类似吗?“减1”法因难而生，为“加1”法排忧解难。然而，“减1”法看起来没把树栽种在两端点上了，而实际上是把树栽种在端点与间距长度的倍数关系上，甚属端点的轨迹；“减1”法是“加1”法的翻版，由“加1……减2”的思路得来的（假设两端都栽而加1，而实际两端都不载而减2），与端点的关系保持始终不变，无非少栽了一棵树。树，有生命，会长大，且需占有一定的生长空间。栽种在界址（端点）上的树，肯定有半棵的生长空间不属于规定的地界内。若强种强收，违背常理，不得人性。而且，前面已经阐述，采用“减1”法却少种了一棵树，甚属莫须有的“浪费”。请看例3分析，还从另一角度说明这个问题：
　　例3：要把一块长200米，宽160米的荒地开垦后建成果园，以行距和株距各为4米栽种一批水蜜桃苗，问共栽多少棵水蜜桃苗？
　　解法一，（按“加1”法，行列两端都栽计算）：（200÷4+1）×（160 ÷4+1）=2091（棵）
　　解法二，（按“减1”法，行列两端都不栽计算）：（200÷4-1）×（160 ÷4-1）=1911（棵  ）
　　解法三，（按间距中点法，行距中点和列距中点的连线交点栽计算）：
　　（200÷4）×（160 ÷4）=2000（棵）
　　解法四：（按面积比计算）：      （200×160）÷（4×4）=2000(棵)
　　上述一个问题，却出现三种答案，哪个是正确的呢？解法一，按“加1”法计算，树从行距和列距的端点上栽起，多种了树；解法二，按“减1”法计算，少种了树。按“间距中点”法和按面积比计算，不但结果相同，而且栽种点也相重合，行距中点连线和株距中点连线的交点刚好与这个（以边长为4米的）正方形两条对角线的交点相重合。因此，是符合实际的，是完全正确的。
　　四、 “间距中点”法是线段形植树问题的正确解法
　　为解决“加1”法与“减1”法的弊端，笔者认为“间距中点”法是植树问题完美的解法。“间距中点”法，操作方便，只要从该植树段任意一端的第一个间距中点处植下第一棵树（“加1”法是在该段端点处植下第一棵树的），以下依次按间距种植（与“加1”法类似），这样，距另一端的最后一个间距中点处就刚好植完了计划所植的树。另一方面，从算理上分析，可以先求出该植树段含有多少个这样的间距，然后在每个间距的中点植树。用这种方法植树，植树棵数正好等于间隔数。
　　应用“间距”中点法解题，则上述例1解答为：60÷4=15（棵）；例2解答为：
　　3000÷3=1000（米） 1000÷10=100（棵）或：3000÷10=300（棵） 300÷3=100（棵）；
　　例3解答为：（200÷4）×（160 ÷4）=2000（棵）。
　　植树（出题）时所规定的间距，科学地为各类树种提供至少足够的生长空间，“二分之一间距”也许是每棵树冠充足的覆盖半径。因此，按“间距中点”法植树，既不多占植树空间（纠正了“加1”法的弊端），也不浪费植树空间（克服了“减1”法的弊病）。而且，和谐植树，界址分明，树权确定，也不会闹出拆墙植树或植树棵数为小数的笑话了。
　　笔者认为：无论直线还是封闭形，植树棵数等于植树段长度除以间距长度（若求植树段长度，就等于间距长度乘以植树棵数；若求植树间距，则等于植树段长度除以植树棵数）。植树颗数与植树段长度成正比，与它的间距长度成反比；与它是否封闭无关。“加1”法（或“减1”法）不复存在了，老师不必为“加1”法（或“减1”法）白费劲了，学生也不必为“加1”法（或“减1”法）苦烦恼了。“间距中点”法恰好印证了直线形（线段）与圆形等封闭图形在植树问题上的计算方法的统一，回归了植树问题本来的面目。
　　“间距中点”法与“加1”（“减1”）法的分歧焦点在于栽种点的位置问题上。“植树问题”是一个生产实践问题，教育是上层建筑，上层建筑依附于生产实践，又能指导生产实践。因此，编写应用题和解答应用题，都要以实践为依据，从生产实践中来又到生产实践中去检验，然后再来指导生产实践。 “加1”（“减1”）法，在生产实践中显不足，值得研究。笔者认为小学数学教材中的“植树问题”属于“间隔问题”。间隔问题种类很多，如：插小旗、敲时钟、登楼梯、锯木头、立线杆等。间隔问题根据具体情况“加1”（“减1”）是实际的，必要的。而 “植树问题”是“间隔问题”的一种特殊类型，植树问题“加1”（“减1”）法不可取。树不该栽种在两端点上，应该栽种在间隔的中点上。我们的数学应用题取材以及计算，不是为植树而植树，也不是搞什么植树游戏，更不是植些死活不管的树（植在两端点的2个半棵树叫它如何活着），我们植下的是活生生的会长大的树。有人批评笔者说：“用‘间距中点’法植树计算太容易了，不利于小学生思维能力的培养。”笔者想说：“植树问题本来就那么容易，你何必人为地把它搞得那么复杂，难道小学生的思维能力只有植树问题才能培养出来吗？”
　　小学数学教材中不该把插小旗、敲时钟、登楼梯、锯木头、立线杆等归纳为“植树问题”。上述观点也许是本人的胡思乱想，然而抛砖的目的是为了引玉，恭请专家学者和同行剖析。